第八节 直线与圆锥曲线问题（原卷版）

第八节直线与圆锥曲线问题知识点归纳1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2bxc0(或ay2byc0).当a0时，可考虑一元二次方程的判别式，有0时，直线l与曲线C相交；0时，直线l与曲线C相切；0时，直线l与曲线C相离.当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|或|AB|，k为直线斜率且k0.[常用结论]与椭圆有关的结论：(1)通径的长度为eq\f(2b2,a)；(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPAkPBeq\f(b2,a2)；(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)eq\f(y0y,b2)1.题型归类题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l：y2xm，椭圆C：eq\f(x2,4)eq\f(y2,2)1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.感悟提升在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.题型二弦的有关问题角度1焦点弦例2(2023武汉质检)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为________.角度2中点弦例3已知P(1，1)为椭圆eq\f(x2,4)eq\f(y2,2)1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.角度3一般弦例4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB||CD|eq\f(48,7)，求直线AB的方程.感悟提升1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|AB|eq\r(1k2)|x1x2|eq\r(（1k2）[（x1x2）24x1x2])；|AB|eq\r(1\f(1,k2))|y1y2|(k0)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,k2)))[（y1y2）24y1y2]).题型三圆锥曲线的切线问题例5已知椭圆eq\f(x2,25)eq\f(y2,9)1，直线l：4x5y400，椭圆上是否存在一点，使得它到直线l的距离最小或最大？并求最小值与最大值？感悟提升1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法，即联立直线与圆锥曲线的方程，根据0来求解.2.(1)过椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)eq\f(y0y,b2)1；(2)过双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)eq\f(y0y,b2)1；(3)过抛物线C：y22px(p0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0yp(xx0).题型四直线与圆锥曲线的综合例6已知椭圆C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若ABO的面积为eq\f(3,5)(O为坐标原点)，求直线l的方程.感悟提升(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.课时作业一、单选题1．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若则的面积为A．B．C．1D．32．若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（）A．0B．1C．2D．需根据a，b的取值来确定3．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点.若，则的值为（）A．B．C．D．5．已知抛物线的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则的面积为（）A．B．C．D．二、多选题7．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（）．A．B．C．D．8．已知，分别是椭圆：的左右焦点，在上，为坐标原点，若，的面积为1，则（）A．椭圆的离心率为B．点在椭圆上C．的内切圆半径为D．椭圆上的点到直线的距离小于2三、填空题9．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则______.10．已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则xy的最大值是________．11．已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_______．12．正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上，则正方形的面积为______．四、解答题13．已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；(2)若直线与抛物线相交于两点，且，求直线的方程；14．已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．15．已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.(1)求的标准方程；(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.16．椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点（I）求的方程；（）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）