第八节直线与圆锥曲线问题知识点归纳1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2bxc0(或ay2byc0).当a0时，可考虑一元二次方程的判别式，有0时，直线l与曲线C相交；0时，直线l与曲线C相切；0时，直线l与曲线C相离.当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|eq\r(1k2)|x1x2|eq\r(（1k2）[（x1x2）24x1x2])或|AB|eq\r(1\f(1,k2))|y1y2|eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,k2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（y1y2）24y1y2)))，k为直线斜率且k0.[常用结论]与椭圆有关的结论：(1)通径的长度为eq\f(2b2,a)；(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPAkPBeq\f(b2,a2)；(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)eq\f(y0y,b2)1.题型归类题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l：y2xm，椭圆C：eq\f(x2,4)eq\f(y2,2)1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2xm，,\f(x2,4)\f(y2,2)1，))将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当>0，即3eq\r(2)b>0).连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得meq\f(a,2)，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up6())2eq\o(F2B,\s\up6())，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由点B在椭圆上，得eq\f(\f(9,4),a2)eq\f(\f(b2,4),b2)1，得a23，b2a2c22，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)eq\f(y2,2)1.角度2中点弦例3已知P(1，1)为椭圆eq\f(x2,4)eq\f(y2,2)1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.答案x2y30解析法一易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)eq\f(yeq\o\al(2,1),2)1，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)eq\f(yeq\o\al(2,2),2)1，得eq\f(（x1x2）（x1x2）,4)eq\f(（y1y2）（y1y2）,2)0.x1x22，y1y22，eq\f(x1x2,2)y1y20.又x2x10，keq\f(y1y2,x1x2)eq\f(1,2).经检验，keq\f(1,2)满足题意.此弦所在的直线方程为y1eq\f(1,2)(x1)，即x2y30.法二易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1k（x1），,\f(x2,4)\f(y2,2)1，))消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2eq\f(4k（k1）,2k21).又x1x22，eq\f(4k（k1）,2k21)2，解得keq\f(1,2).经检验，keq\f(1,2)满足题意.故此弦所在的直线方程为y1eq\f(1,2)(x1)，即x2y30.角度3一般弦例4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB||CD|eq\f(48,7)，求直线AB的方程.解(1)由题意知eeq\f(c,a)eq\f(1,2)，2a4.又a2b2c2，解得a2，beq\r(3)，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB||CD|7，不满足条件.当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为yeq\f(1,k)(x1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2eq\f(8k2,34k2)，x1x2eq\f(4k212,34k2)，所以|AB|eq\r(k21)|x1x2|eq\r(k21)eq\r(（x1x2）24x1x2)eq\f(12（k21）,34k2).同理，|CD|eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)1)),3\f(4,k2))eq\f(12（k21）,3k24).所以|AB||CD|eq\f(12（k21）,34k2)eq\f(12（k21）,3k24)eq\f(84（k21）2,（34k2）（3k24）)eq\f(48,7)，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy10.感悟提升1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|AB|eq\r(1k2)|x1x2|eq\r(（1k2）[（x1x2）24x1x2])；|AB|eq\r(1\f(1,k2))|y1y2|(k0)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,k2)))[（y1y2）24y1y2]).题型三圆锥曲线的切线问题例5已知椭圆eq\f(x2,25)eq\f(y2,9)1，直线l：4x5y400，椭圆上是否存在一点，使得它到直线l的距离最小或最大？并求最小值与最大值？解设与直线l：4x5y400平行的直线l：4x5ym0，当直线l与椭圆相切于A点时，此时A到l距离最小；当直线l与椭圆相切于B点时，此时B到l的距离最大.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x5ym0，,\f(x2,25)\f(y2,9)1，))消去y得25x28mxm22250，64m2100(m2225)0，m25.当直线经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(9,5)))时，l1：4x5y250，此时距离最小，dmineq\f(|4025|,\r(41))eq\f(15\r(41),41).当直线经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(9,5)))时，l2：4x5y250，此时距离最大，dmaxeq\f(|4025|,\r(41))eq\f(65\r(41),41).感悟提升1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法，即联立直线与圆锥曲线的方程，根据0来求解.2.(1)过椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)eq\f(y0y,b2)1；(2)过双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)eq\f(y0y,b2)1；(3)过抛物线C：y22px(p0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0yp(xx0).题型四直线与圆锥曲线的综合例6已知椭圆C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若ABO的面积为eq\f(3,5)(O为坐标原点)，求直线l的方程.解(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)\f(\r(3),2)，,2b2，,c2a2b2，))解得a24，b21，故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)y21.(2)由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xmy1，,\f(x2,4)y21，))整理得(m24)y22my30，(2m)24(m24)(3)16m2480，则y1y2eq\f(2m,m24)，y1y2eq\f(3,m24)，故|y1y2|eq\r(（y1y2）24y1y2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,m24)))\s\up12(2)\f(12,m24))eq\f(4\r(m23),m24)，因为ABO的面积为eq\f(3,5)，所以eq\f(1,2)|OP||y1y2|eq\f(1,2)1eq\f(4\r(m23),m24)eq\f(2\r(m23),m24)eq\f(3,5)，设teq\r(m23)eq\r(3)，则eq\f(2t,t21)eq\f(3,5)，整理得(3t1)(t3)0，解得t3或teq\f(1,3)(舍去)，即meq\r(6).故直线的方程为xeq\r(6)y1，即xeq\r(6)y10.感悟提升(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.课时作业一、单选题1．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若则的面积为A．B．C．1D．3【答案】D【分析】利用椭圆焦点三角形的面积公式，直接计算得所求三角形的面积.【详解】椭圆，根据椭圆焦点三角形的面积公式，故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积公式.属于基础题.如果椭圆焦点三角形的顶角为，则焦点三角形的面积为.对于双曲线来说，如果双曲线焦点三角形的顶角为，则焦点三角形的面积为.解题过程中可以作为结论来应用.这些结论平时注意收集.2．若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（）A．0B．1C．2D．需根据a，b的取值来确定【答案】C【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系，得到，进而结合圆和椭圆的位置关系，即可求得答案.【详解】因为直线和圆没有公共点，所以原点到直线的距离，即，所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部，所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：C.3．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设，可得，，将两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出===，进而可求出的值.【详解】设，则，，则，两式相减得：，===，又==，，联立，得.椭圆方程为.故选：D．4．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点.若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，由得，设，则，又，，，，圆的标准方程是，圆心为，半径为，，，，解得，，．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦长公式，由直线方程与抛物线方程联立消元后求得，由焦点是的抛物线的焦点弦长为可表示出弦长．5．已知抛物线的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离．【详解】由题意抛物线标准方程为，，，焦点为，准线方程为，直线方程为，代入抛物线方程整理得，设，则，设中点为，则，到准线的距离为．故选：A．【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦中点问题，解题时直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理可得中点坐标．6．已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据双曲线定义以及余弦定理求得，再根据三角形面积公式，利用二倍角正弦与余弦公式化简得结果.【详解】因为点在双曲线的右支上，所以因为所以即因此的面积为故选：D【点睛】本题考查双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式以及二倍角正弦与余弦公式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、多选题7．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（）．A．B．C．D．【答案】BD【分析】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，求出的范围，即可得出答案.【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，其准线为.故选:BD．8．已知，分别是椭圆：的左右焦点，在上，为坐标原点，若，的面积为1，则（）A．椭圆的离心率为B．点在椭圆上C．的内切圆半径为D．椭圆上的点到直线的距离小于2【答案】ABD【分析】先根据已知条件得到，再利用的面积为1，确定点P为C的短轴的一个端点，然后逐项分析即可.【详解】由，为的中点可知，.由的面积为1，可知，所以，所以P为椭圆C短轴的一个端点，则，所以，所以，A正确；由A可知，椭圆C的方程为，将点的坐标代入，可知满足C的方程，B正确；因为为等腰直角三角形，且，所以的内切圆半径，C错误；不妨取，则直线的方程为，即，设椭圆C上的点，则点M到直线的距离，其中，则，D正确.故选：ABD.三、填空题9．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则______.【答案】3；【分析】由题意得：，又因为为的中点，且点在轴上，设点，所以点为，又因为点在抛物线上，代入抛物线便可得出，进而求得.【详解】根据题意画出图象，如下图所示：因为是抛物线：的焦点，所以点坐标为.设点为，因为为的中点，所以点为，因为点在抛物线上，则.则.故：.故答案为：3.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题目.10．已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则xy的最大值是________．【答案】5【详解】令xyt，则问题转化为直线xyt与椭圆有公共点时，t的取值范围问题．由,去y得25x232tx16t21440，(32t)2100(16t2144)576t2144000，5t5，xy的最大值为5.11．已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_______．【答案】【分析】根据的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．【详解】的面积为，，，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，进而，，又，，.即的取值范围为.故答案为：12．正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上，则正方形的面积为______．【答案】或/或【分析】设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，再根据两平行直线的距离公式及求出，即可得解.【详解】解：由题意可设直线的方程为，，联立，消得，，则，，由正方形可得直线与直线之间的距离，即，解得或，当时，，此时正方形的面积为，当时，，此时正方形的面积为，所以正方形的面积为或.故答案为：或.四、解答题13．已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；(2)若直线与抛物线相交于两点，且，求直线的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直线和抛物线相切，联立方程令，便可求得实数的值；（2）根据韦达定理表达出，代入求解即可求得实数的值，从而解得直线方程.【详解】（1）解：根据题意得：直线与抛物线相切联立，得.（2）设，由（1）方程联立可知.又，且，满足直线的方程为.14．已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．【答案】（1）；（2）详见解析．【详解】试题分析：（1）利用条件，的面积为1，可建立关于，的方程组，从而求解；（2）将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及平面向量数量积的坐标表示证明与直线斜率无关即可得证．试题解析：（1），的面积为1，，椭圆方程为；（2）由（1）得，，直线的斜率存在，故设其方程为，代入，得，，，又，为定值．考点：1．椭圆的标准方程及其性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．平面向量数量积的坐标表示；4．椭圆中的定值问题．15．已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.(1)求的标准方程；(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.【答案】(1)；(2)过定点.【分析】（1）由右焦点到的一条渐近线的距离为1，可求得，再由离心率为，结合可求出，从而可求出双曲线的方程；（2）设，则，设直线为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，再表示出直线的方程，令，表示出，结合前面的式子化简可得结果.【详解】（1）已知双曲线：（，）的右焦点为，渐近线方程为，即因为右焦点到的一条渐近线的距离为1，所以，因为双曲线的离心率为，即所以，得，所以双曲线的标准方程为；（2）设，因为点在双曲线上，且线段轴，所以，设直线为，由，得，，得，则，因为直线为，令，得，所以直线经过轴上的一定点.16．椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点（I）求的方程；（）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）【答案】()；()答案见解析.【详解】试题分析：（I）根据椭圆定义求，再根据c求b，即得的方程；（）根据椭圆和抛物线对称性得转化为研究的垂直平分线和轴的交点是否为定点.联立抛物线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点公式得，再根据直线斜率公式得AB斜率，表示垂直平分线方程，求得其和轴的交点为，即得结论.试题解析：（I）依题意有：所以所以椭圆的方程为：（）法一：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则若存在点满足条件，则点在轴上，设，联立则，由于所以又所以则即故坐标平面上存在定点，满足法二：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则的中心依题意，只要探究的垂直平分线和轴的交点是否为定点.联立则，所以，直线：令得：为定值，故坐标平面上存在定点，满足.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.